DIARIO 1 Integración Por Cambio De Variable

                                                                                                                                         10/06/23   

                             INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

En la clase del 10/junio/2023 el profe nos explico sobre la integración por cambio de variable , con el objetivo de reducir el grado de dificultad de la integral mediante el cambio de variable,de tal manera que la integral resultante sea más fácil de integrar.

Las integrales por cambio de variable —también conocidas como integrales por sustitución de variable— se realizan introduciendo una nueva variable en la ecuación y utilizando esta elección de cambio para que la integral sea más fácil de resolver.

Siempre que hagamos una integral por cambio de variable, debemos cambiar, también, el diferencial en la integral; ya que ahora estaremos considerando el área con respecto a un cambio en una variable diferente. Esto lo hacemos diferenciando el cambio de variable y, luego, tratando el diferencial del cambio de variable (por ejemplo ${\displaystyle \frac{��}{��}}$) como una fracción, para reemplazar el diferencial original.

Una buena manera de ver la integración por cambio de variable es la inversa de la regla de la cadena para la diferenciación. ¿La recuerdas?: la regla de la cadena para dos funciones $�,�$ viene dada como: $[�(�(�)){]}^{\prime }={�}^{\prime }(�(�))·{�}^{\prime }(�)$.

Para llegar a la fórmula básica de integración por partes, podemos integrar ambos lados con respecto a $�$ para obtener:

$$<span\; style="font-family:\; arial;">\int </span>{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}^{<span\; style="font-family:\; arial;">\prime </span>}<span\; style="font-family:\; arial;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">)</span><span\; style="font-family:\; arial;">)</span><span\; style="font-family:\; arial;">\cdot </span>{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}^{<span\; style="font-family:\; arial;">\prime </span>}<span\; style="font-family:\; arial;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">)</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">)</span><span\; style="font-family:\; arial;">)</span>$$

Sustituimos, entonces, de modo que: $�=�(�)$

y llegaremos a la integral de ${�}^{\prime }(�)$: ${�}^{\prime }(�)={�}^{\prime }(�(�))$.

Si podemos integrar por sustitución, suele ser beneficioso hacerlo, en lugar de recurrir a otro método como la integración por partes. Esto se debe a que el cambio de variable suele ser un método más rápido y eficaz que la integración por partes. Sin embargo, la mayoría de las integrales no pueden resolverse usando los dos métodos, indistintamente, por lo que es esencial tener un buen conocimiento de ambos.

Pasos para resolver integrales por cambio de variable

El método general para realizar la integración por cambio de variable es el siguiente:

1. Elegir un cambio de variable que permita cambiar todos los términos y facilitar al máximo la integral.

2. Diferenciar el cambio de variable, de forma que podamos cambiar el diferencial.

3. Realizar el cambio de variable.

4. Completar la integral.

5. Deshacer el cambio de variable.

Para comprenderlo mejor, veamos este caso:

Utiliza la integración por cambio de variable para integrar: $\int {\displaystyle \frac{2�+7}{{�}^2+7�+14}}��$.

Solución

Intenta, primero, un cambio de variable de: $�={�}^2+7�+14$.

Si utilizas este cambio de variable, entonces:

$${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}}<span\; style="font-family:\; arial;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">7</span>}$$

$$\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">=</span>{\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">7</span>}}}$$

A continuación, sustituye esto en la integral:

$${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">7</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">2</span>}}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">14</span>}}}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">=</span><span\; style="font-family:\; arial;">\int </span>{\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">7</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}}<span\; style="font-family:\; arial;">=</span><span\; style="font-family:\; arial;">\int </span>{\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}$$

Esto es ahora una integral estándar, por lo que podemos integrarla.

Como ya hemos visto, esto se integra a $��|�|$:

$$<span\; style="font-family:\; arial;">\int </span>{\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">1</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}}<span\; style="font-family:\; arial;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">|</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">|</span><span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">|</span>{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">2</span>}}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">14</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">|</span><span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">|</span><span\; style="font-family:\; arial;">(</span>{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">2</span>}}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">7</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">14</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">)</span><span\; style="font-family:\; arial;">|</span><span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">�</span>}$$

al ser el argumento del logaritmo una función cuadrática, podemos eliminar el valor absoluto, ya que la función dentro del mismo siempre será mayor que 0.

REFERENCIAS 

https://www.google.com/search?rlz=1C1ONGR_esMX1022MX1022&sxsrf=APwXEdfWWXO1adn2E4mH5KdKoxgh7FaIMw:1686885085874&q=integracion+por+cambio+de+variable&tbm=vid&sa=X&ved=2ahUKEwjD3sfS6Mb_AhUmOUQIHc1iDo8Q0pQJegQIDRAB&biw=1366&bih=617&dpr=1#fpstate=ive&vld=cid:aa546684,vid:5Ej7FPMxmPA

https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/integrales-por-cambio-de-variable/#:~:text=sustituci%C3%B3n%20%2D%20Puntos%20clave-,La%20integraci%C3%B3n%20por%20cambio%20de%20variable%20es%20la%20inversa%20de,u%20%3D%20g%20(%20x%20)%20.